SOAL - SOAL LATIHAN ALJABAR LINEAR
MATA KULIAH : ALJABAR LINEAR
NAMA : HENDRIK SUDEFRI S
NPM : 110210095
UNIVERSITAS PUTERA BATAM
2012
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah memberikan kekuatan dan niat baik pada penulis di dalam penyempurnaan dari tulisan ini tepat pada waktunya dan demi kepentingan nilai ujian akhir semester.
Makalah ini berisikan atas : Kumpulan Soal Latihan Dasar-Dasar Aljabar Linear.
Penulis sadar bahwa dalam menyelesaikan tulisan ini penulis tidak dapat menyelesaikannya tanpa dukungan materi maupun moril yang diberikan oleh banyak pihak. Oleh karena itu, secara khusus penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada:
1. Ibu Desi Sariani,SPd selaku dosen pengampu yang bersedia merelakan waktu untuk memberikan bimbingan dan perbaikan-perbaikan yang berguna untuk keberhasilan penulisan ini.
2. Ibunda dan ayahanda yang senantiasa memberikan dukungan berupa do’a maupun dana yang dipergunakan dalam menulis tulisan ini.
3. Segenap pihak yang tidak bisa disebutkan satu per satu yang terlibat secara langsung maupun tidak langsung dalam penulisan ini.
Akhir kata, penulis berharap semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi semua kalangan pembaca. Oleh karenanya, penulis mengharapkan saran dan kritik untuk perbaikan tulisan ini agar menjadi lebih sempurna. Terima kasih untuk semua pihak yang telah memberi dukungan dalam penulisan Makalah ini.
Batam, Juni 2012
Penulis
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ....................................................................................................... 2
Daftar Isi ................................................................................................................. 3
Bab I ........................................................................................................................ 4
Pendahuluan ............................................................................................................ 4
1.1 Latar Belakang ........................................................................................... 4
1.2 Landasan Teori .......................................................................................... 5
Bab II ...................................................................................................................... 7
Kumpulan Soal Latihan Dasar-Dasar Aljabar Linear ............................................. 7
2.1 Operasi-operasi Matriks ............................................................................. 7
Bab III ..................................................................................................................... 40
Penutup .................................................................................................................... 40
Kesimpulan .............................................................................................................. 40
Daftar Pustaka
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.
Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.
Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :
1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi
1.2 LANDASAN TEORI
Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.
Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama. Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Bab II akan menjelaskan tentang operasi-operasi matriks dan vektor.
BAB II
KUMPULAN SOAL LATIHAN DASAR-DASAR ALJABAR LINEAR
2.1.OPERASI-OPERASI MATRIKS
LATIHAN 1.2
Ø Soal no.1 matriks-matriks 3 x 3 yang berbentuk baris eselon tereduksi :
Ø Soal no.2 matriks-matriks 3 x 3 yang berbentuk baris eselon :
Ø Soal no.6 penyelesaian matriks-matriks dengan eliminasi Gauss-Jordan
· Soal 6.c matriks 4 variabel :
x – y + 2z - w = -1
2x + y - 2z - 2w = -2
-x + 2y - 4z + w = 1
3x - 3w = -3
2 B1+B2 = B2, B1+B3 =B3
-3B1+B4 = B4 1/3B2 =B2
-
B2+B1=B1 -B2+B3=B3,-3B2+B4=B4
x - w = -1 y – 2z = 0 z = a
x = w - 1 y = 2z w = b
x = b – 1 y = 2a
· Soal 6.d matriks 3 variabel :
-2b + 3c = 1
3a + 6b – 3c = -2
6a + 6b + 3c = 5
⅓ B1 =B1
-1/2 B2 =B2 -6B1 + B3 =B3
6B2 + B3 =B3
-2B2 + B1 = B1
a + c = ⅓
b – 3/2 c = -2
0 ≠ 6
Tidak Konsisten
Ø Soal no.8 penyelesaian matriks-matriks dengan eliminasi Gauss-Jordan
· Soal 8.a matriks 2 variabel :
2X1 – 3X2 = -2
X1 + X2 = 1
3X1 + 2X2 = 1
½ B1 = B1
-2B1 + B2 = B2 -3B1 + B3 = B3
¼ B2 =B2
-13/2 B2 + B3 =B3
X1 – 3/2 = -1
X2 =
0 ≠ Tidak Konsisten
· Soal 8.b matriks 3 variabel :
3X1 – 2X2 – 2X3 = -15
5X1 + 3X2 + 2X3 = 0
3X1 + X2 + 3X3 = 11
-6X1 - 4X2 + 2X3 = 0
⅓ B1 = B1
-5B1 + B2 = B2, -3B1 + B3 = B3 dan 6B1 + B4 = B4
B2 + B3 =B3
- B2 + B1 = B1
X1 + 7X3 = 45 X2 - 11X3 = -75 -7X3 = -49
X1 = 45 - 7X3 X2 = 11X3 – 75 X3 = -49/-7
X1 = 45 – 7(7) X2 = 11(7) – 75 X3 = 7
X1 = 45 – 49 X2 = 77 – 75
X1 = -4 X2 = 2
· Soal 8.c matriks 2 variabel :
4X1 – 8X2 = 12
3X1 – 6X2 = 9
-2X1 + 4X2 = -6
-3B1 + B2 =B2 2B1 +B2 = B2
X1 – 2X2 = 3
X1 = 2X2 + 3
X1 = 2k + 3 dan X2 = k
· Soal 8.d matriks 4 variabel :
10y – 4z + w = 1
x + 4y – z + w = 2
3x + 2y + z + 2w = 5
-2x – 8y + 2z – 2w = -4
x – 6y + 3z = 1
-3B1 + B3 = B3, 2B1 + B4 =B4 –B1 + B5 =B5
10B2 + B4 =B4
B3 +B1 =B1 B3 +B2 =B2
x + w = y + w = z = a
x = - w y = - w w = b
x = - b y = - b
Ø Soal no.10 penyelesaian matriks-matriks dengan eliminasi Gauss-Jordan
Soal 10.a matriks 3 variabel :
· 5X1 – 2X2 – 6X3 = 0
-2X1 + X2 + 3X3 = 1
B1=B1 2B1+B2=B2
X1 – X2 – X3 = 0 X2 + X3 = 1 X3 = k
X1= X2 – X3 X2 = 1 – X3
X1 = (5 – 27 k) - k X2 = (1 – k) 5
X1 = 2 - k - k X2 = 5 – 27k
X1 = 2 - k
X1 = 2 - 12k
· Soal 10.b matriks 4 variabel :
X1 – 2X2 + X3 – 4X4 = 1
X1 + 3X2 + 7X3 + 2X4 = 2
X1 – 12X2 - 11X3 – 16X4 = 5
-B1+B2=B2, -B1+B3=B3
B2 = B2
-10B2+B3=B3, 2B2+B1=B1
X1 – X2 – X4 = X2 + X3 + X4 = 0 ≠ 6
Tidak Konsisten
· Soal 10.c matriks 5 variabel :
w + 2x – y = 4
x – y = 3
w + 3x – 2y = 7
2u + 4v + w + 7x = 7
B1 = B1
-3B3+B4=B4, 2B3+B2=B2
B3 + B1 = B1
u + 2v + 3y = -6 w + y = -2 x – y = 3 v = k
u = -2k – 3j – 6 w = -j -2 x = j + 3 y = j
LATIHAN 1.3
Soal no.1 anggap A,B,C,D dan E adalah matriks-matriks dengan ukuran-ukuran sebagai berikut :
A (4 x 5) B (4 x 5) C (5 x 2) D (4 x 2) E (5 x 4)
Mencari ukuran matriks dari operasi-operasi yang dimilikinya :
a). B*A = (4 x 5) * (4 x 5) Tidak Terdefinisi
b). A*C+D = (4 x 5) * (5 x 2) + (4 x 2)
= (4 x 2) + (4 x 2)
= (4 x 2)
c). A*E+B = (4 x 5) * (5 x 4) + (4 x 5)
= (4 x 4) + (4 x 5) Tidak Terdefinisi
d). A*B+B = (4 x 5) * (4 x 5) + (4 x 5) Tidak Terdefinisi
e). E(A + B) = E*A + E*B
= (5 x 4) * (4 x 5) + (5 x 4) * (4 x 5)
= (5 x 5) + (5 x 5)
= (5 x 5)
f). E(A*C) = (5 x 4) ((4 x 5) * (5 x 2))
= (5 x 4) * (4 x 2)
= (5 x 2)
g). A = (4 x 5) * (4 x 5) Tidak Terdefinisi
h). ( +E)D = ((5 x 4) + (5 x 4)) * (4 x 2)
= (5 x 4) * (4 x 2)
= (5 x 2)
Soal no.3 Tinjau matriks-matriks :
A= , B= , C= , D= , E=
a). D + E = + =
b). D – E = – =
c). 5A = 5 =
d). -7C = -7 =
e). 2B – C = 2 - Tidak Terdefinisi
f). 4E – 2D = 4 - 2 = -
=
g). -3(D+2E) = -3D + (-6)E = -3 + (-6)
= +
=
h). A – A = - =
i). tr(D) D =
tr(D) = 1 + 0 + 4 = 5
j). tr(D – 3E) = tr(D) – tr(3E)
D = 3E = 3 =
tr(D) – tr(3E) = (1 + 0 + 4) – (18 + 3 + 9)
= 5 – 30 = -25
k). 4 tr(7B)
7B = 7 =
4 tr(7B) = 4 (28 + 14) = 4 (42) = 168
l). tr(A) A =
tr(A) = Tidak Terdefinisi
LATIHAN 1.4
Soal no.1 anggap
A= B= C= a = 4 b = -7
Tunjukan bahwa :
a).A + (B +C) = (A + B) + C
+ + = + +
=
b).(AB) C = A (BC)
x x = x x
=
c).(a+b) C = aC +bC
(4 – 7) = 4 -7
-3 = -
=
d).a (B – C) = aB - aC
4 - = 4 - 4
4 = -
=
Soal no.7 carilah nilai A :
a). = B1=B1
-3B1-B2=B2
B2+B1=B1 B2=B2
A =
b). = B1=B1
-B1+B2=B2
B2+B1=B1 3B2=B2
7A = A =
c). = B1=B1 -5B1+B2=B2
B2+B1=B1 3B2=B2
5A = A =
d). = -B1=B1
-4B1+B2=B2
2B2+B1=B1 B2=B2
= 2A – I = -
2A = A =
LATIHAN 2.1
Soal no.3 : det = 12 – (-10) = 22
Soal no.8 : det = (-8 -42 + 240) – (18 + 32 + 140)
= 190 – 190
= 0
LATIHAN 2.2
Perhitungan deterrminan dari matriks-matriks denga mereduksi matriks menjadi bentuk baris eselon :
Soal no.6 : det = - 2B1+B2=B2
= - -5B1+B3=B3 = - B3 pindah B2 = -
= - B2=B2 = - 2B2+B3=B3 = -
= - = - (1) = -
Soal no.7 : det = -
= -3 2B2+B3=B3 = - 3 -3B2+B3=B3 = - 3
= (-3) (-11) = (-3) (-11) (1) = 33
Soal no.12 : diketahui = -6 ,carilah :
a). = -6 b). = 72
c). =-6
d). = 18
LATIHAN 2.3
Soal no.1 : periksalah det (kA) = k’’det (A)
a).A = , k = 2
det 2 = det
det = (-4 – 6 )
-16 – 24 = 4 (-10)
-40 = -40
b). A = , k = -2
det -2 = - det
det = - (20 - 1 + 36) – (6 + 8 – 15)
(-160 + 8 – 288) – (-48 – 64 + 120) = -8 (55 – (-1))
-448 = -448
Soal no.4 : dengan teorema 2.3.3 tentukan matriks yang dapat dibalik. (matriks bujur sangkar A dapat dibalik jika dan hanya jika (A) ≠ 0)
a). dapat dibalik.
b). tidak dapat dibalik.
c). tidak dapat dibalik.
d). tidak dapat dibalik.
LATIHAN 2.4
Soal no.11 : menentukan nilai dengan teorema 2.4.2.
A = adj (A) =
det A = =(-6 + 10 + (-20)) – (-10 + 8 + (-15)) = -16 – (-17) = 1
= adj (A) =
=
LATIHAN 3.1
Soal no.6 : anggap :
u = (-3,1,2) v = (4,0,-8) w = (6,-1,-4)
a). v – w = ( - , - , - )
= (4 – 6, 0 – (-1), -8 – (-4))
= (-2,1,-4)
b). 6u +2v = 6u = (-18,6,12) 2v = (8,0,-16)
6u +2v = ( + , + , + )
= (-18 + 8, 6 + 0, 12 – 16)
= (-10,6,-4)
c). –v + u = ( + , + , + )
= (-4 + (-3), 0 +1, 8 + 2)
= (-7,1,10)
d). 5 (v – 4u) =
4u = (-12,4,8)
5 (v – 4u) = 5 ( - , - , - )
= 5(4 – (-12), 0 – 4, -8 – 8)
= 5(16,-4,-16) = (80,-20,-80)
e). -3 (v – 8w) =
8w = (48,-8,-32)
-3 (v – 8w) = -3 ( - , - , - )
= -3 (4 – 48, 0 – (-8), -8 – (-32))
= -3 (-44,8,24)
= (132,-24,-72)
f). (2u - 7w) – (8v + u) =
2u – 7w = ( - , - , - )
= (-6 – 42, 2 – (-7), 4 – (-28)
= (-48,9,32)
8v + u = ( + , + , + )
= (32 + (-3), 0 + 1, -64 + 2)
= (29,1,-62)
(2u - 7w) – (8v + u) = (-49 - 29, 9 – 1, 32 – (-62))
= (-78,8,94)
Soal no.7 :
u = (-3,1,2) v = (4,0,-8) w = (6,-1,-4)
Carilah nilai x dari : 2u – v + x = 7x + w
(-6 -4, 2 – 0, 4 – (-8) + x = 7x + (6,-1,-4)
(-10,2,12) - (6,-1,-4) = 7x – x
(-16,3,16) = 6x
x = ( )
Soal no.8 :
u = (-3,1,2) v = (4,0,-8) w = (6,-1,-4)
Carilah nilai skalar berikut ini :
u + v + w = (2,0,4)
(-3,1,2) + (4,0,-8) + (6,-1,-4) = (2,0,4)
= 2 = -1 = 2
LATIHAN 3.2
Soal no.2 : cari jarak antara P1 dan P2 :
a). P1 = (3,4) dan P2 = (5,7)
d =
=
=
=
b). P1 = (-3,6) dan P2 = (-1,-4)
d =
=
=
= = 2
c). P1 = (7,-5,1) dan P2 = (-7,-2,-1)
d =
=
= =
d). P1 = (3,3,3) dan P2 = (6,0,3)
d =
=
=
= = 3
Soal no.3 : anggap :
u = (2,-2,3) v = (1,-3,4) w = (3,6,-4) , hitunglah :
a). =
=
=
=
b). + = +
= +
= +
= +
c). + = + 2
= + 2
= + 2
= + 2
= + 2
d).
=
=
=
e). w = (w1,w2,w3)
= (3,6,-4)
= (3,6,-4)
= (3,6,-4) = ( )
f). = w = (3,6,-4) = 1
Soal no.4 : anggap : v = (-1,2,5) cari skalar k sehingga = 4
= = = =
4 =
k =
LATIHAN 3.3
Soal no.1 : carilah nilai u .v
a).u = (2,3) dan v = (5,-7)
u.v = u1.v1 + u2.v2 = 10 + (-21) = -11
b). u = (-6,-2) dan v = (4,0)
u.v = u1.v1 + u2.v2 = -24 + 0 = -24
c).u = (1,-5,4) dan v = (3,3,3)
u.v = u1.v1 + u2.v2 + u3.v3 = 3 + (-15) + 12 = 0
d). u = (-2,2,3) dan v = (1,7,-4)
u.v = u1.v1 + u2.v2 + u3.v3 = -2 + 14 + (-12) = 0
LATIHAN 4.1
Soal no.2 : anggap u = (-3,2,1,0), v = (4,7,-3,2) dan w = (5,-2,8,1). Carilah vektor x yang memenuhi :
5x – 2v = 2(w – 5x)
5x - 2(4,7,-3,2) = 2w – 10x
5x - (8,14,-6,4) = 2(5,-2,8,1) -10x
5x + 10x = (10,-4,16,2) + (8,14,-6,4)
15x = (18,10,10,6)
x = ( ) = ( )
Soal no.6 : anggap u = (4,1,2,3), v = (0,3,8,-2) dan w = (3,1,2,2)
a). =
=
=
=
b). + = +
= +
= +
= +
c). +
= + 2
= + 2
= + 2
= + 2 = + 2
d).
=
=
=
=
=
e). w = (w1,w2,w3,w4)
= (3,1,2,2)
= (3,1,2,2)
= (3,1,2,2) = (3,1,2,2)
= ( , , , )
f). = w = (3,1,2,2) = 1
Soal no.11 : jarak euclidean antara u dan v
a).u = (1,-2) dan v = (2,1)
d (u,v) =
=
= =
b).u = (2,-2,2) dan v = (0,4,-2)
d (u,v) =
= =
c).u = (0,-2,-1,1) dan v = ( -3,2,4,4)
d (u,v) =
= =
d).u = (3,-3.-2,0,-3) dan v = (-4,1, -1,5,0)
d (u,v) =
=
= = 10
BAB III
PENUTUP
3.1. KESIMPULAN
Sebuah sistem persamaan linier homogen dengan jumlah peubah yang lebih banyak dari pada jumlah persamaan mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaiannya.
Dengan menganggap ukuran matriks-matriks di bawah adalah sedemikian sehingga operasi yang ditunjukkan bisa dilakukan. Aturan-aturan aritmetika :
1. A + B = B + A (komutatif untuk penjumlahan)
2. A (B + C) = (A + B) +C (asosiatif untuk penjumlahan)
3. A (BC) = (AB) C (asosiatif untuk perkalian)
4. A (B + C) = AB + BC (distributif kiri)
5. (B + C) A = BA + BC (distributif kanan)
6. A (B - C) = AB - BC (distributif kiri)
7. (B - C) A = BA - BC (distributif kanan)
8. a (B + C) = aB + aC (distributif kiri)
9. a (B - C) = aB - aC (distributif kiri)
10. (a + b) C = aC + bC (distributif kanan)
11. (a - b) C = aC – bC (distributif kanan)
12. a (bC) = (ab) C
13. a (BC) = (aB) C = B (aC)
14. dll.
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard, Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 1, Penerbit Interaksa, Batam Centre, 2000.
http://en.wikipedia.org/wiki/Categori : Aljabar Linear Tentang Operasi-Operasi Matriks
No comments:
Post a Comment